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关于 $x$ 的方程 $\sin 2x \cdot \sin 4x - \sin x \cdot \sin 3x = a$ 在 $x \in \left[ {0 ,{{\pi }}} \right)$ 时有唯一解，求实数 $a$ 的值．
【难度】
【出处】
2012年北京大学等十三校联考自主招生
【标注】
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    函数
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    函数的图象与性质
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    函数的零点
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    三角
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    三角恒等变换
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    和差化积与积化和差公式
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    函数
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    三角函数
【答案】
$1$
【解析】
设 $f\left( x \right) = \sin 4x \cdot \sin 2x - \sin x \cdot \sin 3x$，则\[\begin{split}f\left( x \right) &= - \dfrac{1}{2}\left( {\cos 6x - \cos 2x} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\cos 4x - \cos 2x} \right)\\& = \dfrac{{\cos 4x - \cos 6x}}{2}\\& = \sin x \cdot \sin 5x.\end{split}\]$f\left( x \right)$ 关于 $x = \dfrac{{{\pi }}}{2}$ 对称，于是若 $f\left( x \right) = 0$ 在 $\left[ {0 ,{{\pi }}} \right)$ 内有唯一解，则解为 $x = \dfrac{{{\pi }}}{2}$ 或 $x = 0$．
情形一若 $x = \dfrac{{{\pi }}}{2}$ 为方程的解，此时 $a = 1$．而当 $x \ne \dfrac{{{\pi }}}{2}$ 时，$$f\left( x \right) = \sin x \cdot \sin 5x < \sin 5x\leqslant 1.$$所以，符合题意．
情形二若 $x = 0$ 为方程解，此时 $a = 0$，显然此时 $x = \dfrac{{{\pi }}}{5}$ 亦为方程的解，所以不符合题意．
综上，$a = 1$．
答案 解析 备注
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