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已知抛物线 $y^2=4x$ 的内接三角形 $ABC$ 的重心恰好是抛物线的焦点 $(1,0)$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    解析几何中的基本公式
    >
    面积坐标公式
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
【答案】
$\dfrac{3\sqrt 6}2$
【解析】
设 $A(a^2,2a)$，$B(b^2,2b)$，$C(c^2,2c)$，则$$a^2+b^2+c^2=3,a+b+c=0,$$于是$$a+b=-c,ab=c^2-\dfrac 32,|a-b|=\sqrt{6-3c^2},$$从而\[\begin{split} S&=\begin{vmatrix} 1&1&1\\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a&b&c\end{vmatrix}\\ &=|a^2b+b^2c+c^2a-ab^2-bc^2-ca^2| \\ &=\sqrt {6-3c^2}\cdot \left|3c^2-\dfrac 32\right|\\ &=\sqrt{\dfrac 12(12-6c^2)\cdot\left(3c^2-\dfrac 32\right)\cdot \left(3c^2-\dfrac 32\right)}\\ &\leqslant \dfrac{3\sqrt 6}2,\end{split}\]等号当 $c^2=\dfrac 32$ 时取得，因此 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $\dfrac{3\sqrt 6}2$．
答案 解析 备注
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