已知 ${F_1} , {F_2}$ 是椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ 的焦点．设 ${l_1} , {l_2}$ 是该椭圆过椭圆外的一点 $P$ 的两条切线，切点分别为 ${T_1} , {T_2}$，证明：$\angle {F_1}P{T_1} = \angle {F_2}P{T_2}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，作 ${F_1},{F_2}$ 分别关于切线 $P{T_1},P{T_2}$ 对称的点 $M,N$．
根据椭圆的光学性质得$$PM = P{F_1},P{F_2} = PN,M{F_2} = {F_1}N= 2a,$$所以 $\triangle PMF_2$ 与 $\triangle PF_1N$ 全等．于是 $\angle MP{F_2} = \angle {F_1}PN$，从而$$\angle MP{F_1} = \angle {F_2}PN,$$也即$$2\angle {F_1}P{T_1} = 2\angle {F_2}P{T_2},$$因此 $\angle {F_1}P{T_1} = \angle {F_2}P{T_2}$，原命题得证．
根据椭圆的光学性质得$$PM = P{F_1},P{F_2} = PN,M{F_2} = {F_1}N= 2a,$$所以 $\triangle PMF_2$ 与 $\triangle PF_1N$ 全等．于是 $\angle MP{F_2} = \angle {F_1}PN$，从而$$\angle MP{F_1} = \angle {F_2}PN,$$也即$$2\angle {F_1}P{T_1} = 2\angle {F_2}P{T_2},$$因此 $\angle {F_1}P{T_1} = \angle {F_2}P{T_2}$，原命题得证．
答案
解析
备注
