无

$n$ 的所有可能值为 $n = 4k$ 或 $n = 4k + 1$，$k \in {N^ * }$

双打比赛总共进行的场次为 $\dfrac{1}{2}{\rm C}_n^2 = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}$，因此 $n = 4k$ 或 $n = 4k + 1$，$k \in {\mathbb N^ * }$．
下面证明任意 $n = 4k$ 或 $n = 4k + 1$（$k \in {\mathbb N^ * }$）时，都可以构造出满足要求的比赛方案．
将 $n$ 个人看作平面上的 $n$ 个不同的点，则每场双打比赛可以看成是两条无公共端点的线段 ${P_1}{P_2},{P_3}{P_4}$ 形成的线段组 ${P_1}{P_2} - {P_3}{P_4}$，题意即 $\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}$ 条线段可以组成 $\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{4}$ 个无公共端点的线段组．
当 $k = 1$ 时，即 $n = 4$ 或 $n = 5$ 时，可以如图构造出符合题意的线段组：$n = 4$ 时，将 $6$ 条线段分为 $3$ 个线段组：$AB - CD$，$AD - BC$，$BD - AC$；
$n = 5$ 时，将 $10$ 条线段分为 $5$ 个线段组：$AB - CE$，$BC - AD$，$CD - BE$，$DE - AC$，$AE - BD$．
假设当 $n = 4k$ 或 $n = 4k + 1$ 可以构造出符合题意的线段组．
第一种情况 $n = 4k + 4$ 时．
设端点为 $A , B , C , D , {P_1} , {Q_1} , {P_2} , {Q_2} , \cdots , {P_{2k}} , {Q_{2k}}$，则
① 根据 $n = 4$ 的情形，可以安排 $A , B , C , D$ 之间的比赛；
② 根据 $n = 4k$ 的情形，可以安排 ${P_1} , {Q_1} , {P_2} , {Q_2} , \cdots , {P_{2k}} , {Q_{2k}}$ 之间的比赛；
③ 安排组间比赛 ${P_i}A - {Q_i}B , {P_i}C - {Q_i}D , {P_i}B - {Q_i}A , {P_i}D - {Q_i}C$，$i = 1 , 2 , \cdots , 2k$．
此时从每个点出发的线段都在线段组中出现过，且所有线段组都无公共端点．
这就证明了当 $n = 4k + 4$ 时可以构造出符合题意的线段组．
第二种情况 $n = 4k + 5$ 时．
设端点为 $A , B , C , D , E , {P_1} , {Q_1} , {P_2} , {Q_2} , \cdots , {P_{2k}} , {Q_{2k}}$，则
① 根据 $n = 5$ 的情形，可以安排 $A , B , C , D , E$ 之间的比赛；
② 根据 $n = 4k + 1$ 的情形，可以安排 $E , {P_1} , {Q_1} , {P_2} , {Q_2} , \cdots , {P_{2k}} , {Q_{2k}}$ 之间的比赛；
③ 安排组间比赛 ${P_i}A - {Q_i}B , {P_i}C - {Q_i}D , {P_i}B - {Q_i}A , {P_i}D - {Q_i}C$，$i = 1 , 2 , \cdots , 2k$．
此时从每个点出发的线段都在线段组中出现过，且所有线段组都无公共端点．
这就证明了当 $n = 4k + 5$ 时可以构造出符合题意的线段组．
综合两种情况，由归纳法原理，命题得证．