在 $\triangle AOB$ 内（含边界），其中 $O$ 为坐标原点，$A$ 在 $x$ 轴正向，$B$ 在 $y$ 轴正向，且有 $OA=OB=2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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用不等式组表示 $\triangle AOB$ 的区域；标注答案$\begin{cases}x + y \leqslant 2,\\x \geqslant 0,\\y \geqslant 0.\end{cases}$解析略
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求证：在 $\triangle AOB$ 内的任意 $11$ 个点，总可以分为两组，使一组的横坐标之和不大于 $6$，另外一组的纵坐标之和不大于 $6$．标注答案略解析只需要证明线段 $x + y = 2$（$x \geqslant 0$ 且 $y \geqslant 0$）上的任意 $11$ 个点总可以按照题意分成两组即可．
设这 $11$ 个点为 ${P_i}\left( {x_i , 2 - x_i} \right)$，$i = 1 , 2 , \cdots , 11$．不妨设 ${x_1} \leqslant {x_2} \leqslant \cdots \leqslant {x_{11}}$，且 $\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^k {x_i} \leqslant 6$ 但 $\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^{k + 1} {x_i} > 6$．则$$\left( {k + 1} \right){x_{k + 1}} \geqslant \sum\limits_{i = 1}^{k + 1} {x_i} > 6,$$从而 ${x_{k + 1}} > \dfrac{6}{{k + 1}}$．此时只需要证明 $\displaystyle \sum\limits_{i = k + 1}^{11} {\left( {2 - x_i} \right)} \leqslant 6$，用分析法：\[\begin{split}\sum\limits_{i = k + 1}^{11} {\left( {2 - x_i} \right)} \leqslant 6&\Leftarrow \sum\limits_{i = k + 1}^{11} {x_i} > 16 - 2k\\&\Leftarrow \left( {11 - k} \right){x_{k + 1}} > 16 - 2k\\&\Leftarrow {x_{k + 1}} > \dfrac{{16 - 2k}}{{11 - k}}\end{split}\]综上，只需要证明 $\dfrac{6}{{k + 1}} \geqslant \dfrac{{16 - 2k}}{{11 - k}}$，容易证明该不等式成立．
因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
