任意一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以组成一个三角形．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设四面体为 $ABCD$．
法一 设 $AD$ 是最长棱，则只需要证明 $AB+AC>AD$ 或 $DB+DC>DA$ 就可以了．由于$$BD+BA>AD,CA+CD>AD$$于是 $(BD+BA)+(CA+CD)>AD$，因此命题得证．
法二 设 $DA+DB+DC$ 最大，不妨设 $DA\geqslant DB\geqslant DC$，为了证明 $DA,DB,DC$ 构成三角形，考虑反证法，设 $DA+DB\leqslant DC$，则 $DA+DB>CB+CA$ 于是$$2CD\geqslant 2(DA+DB)>DA+CA+DB+BC$$而在 $\triangle ACD$ 和 $\triangle BCD$ 中，$(DA+CA)+(DB+BC)> 2DC$，矛盾，因此命题得证．
答案
解析
备注
