题目 证明以下命题： 问题1 对任意正整数 $a$，都存在正整数 $b,c(b<c)$，使得 $a^2,b^2,c^2$ 成等差数列； 答案1 略 解析1 根据题意有 $2b^2-c^2=a^2$，事实上，只需要寻找方程 $x^2-2y^2=-1$ 的一组特解 $(x,y)$，然后令 $(a,b,c)=(a,ya,xa)$ 即可．由于 $\sqrt 2\approx 1.414=\{1,2,2,2,2,5\}$，于是不难得到不定方程$$x^2-2y^2=-1$$的基本解 $(7,5)$．因此对任意正整数 $a$，都存在正整数 $b=7a$，$c=5a$，使得 $a^2,b^2,c^2$ 成等差数列． 备注1 问题2 存在无穷多个互不相似的三角形 $\triangle_n$，其边长 $a_n,b_n,c_n$ 为正整数，且 $a_n^2,b_n^2,c_n^2$ 成等差数列． 答案2 略 解析2 令 $\left(\dfrac{a+c}2\right)^2+\left(\dfrac{a-c}2\right)^2=b^2$，这显然是以 $\dfrac{a+c}2,\dfrac{a-c}2,b$ 为三边的直角三角形．我们知道，对于一个直角三角形的三边，总是可以写作 $1+\tan^2\theta,1-\tan^2\theta,2\tan\theta$ 的．不妨让 $\tan\theta=\dfrac mn$ 为一个有理数，同比例扩大 $m^2$ 倍后得到方程组：$$\begin{cases}\dfrac{a+c}2=m²-n²,\\\dfrac{a-c}2=2mn,\\b=m²+n².\end{cases}$$解之，令 $n=1$，就可以得到 $a=m²+2m-1$，$c=m²-2m-1$，$b=m²+1$． 备注2