如图，在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB$ 边上的高 $CE$ 与 $AC$ 边上的高 $BD$ 交于点 $H$，以 $DE$ 为直径作圆与 $AC$ 的另一个交点为 $G$．已知 $BC=25$，$BD=20$，$BE=7$，求 $AG$ 的长．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{54}{5}$
【解析】
显然 $B,C,D,E$ 四点共圆，于是$$\left. \begin{array}{l}BC = 25 , BD = 20 \Rightarrow CD = 15\\BC = 25 , BE = 7 \Rightarrow CE = 24\\BC = 25 , BE = 7 , BD = 20\end{array} \right\} \Rightarrow DE = \dfrac{{BD \cdot CE - CD \cdot BE}}{{BC}} = 15.$$注意到 $DE = DC$，于是 $\angle DCE = \angle DEC$，于是 $AD = DC = 15$．
连接 $GE$，则 $\angle DGE = 90^\circ $（$DE$ 为直径），从而 $\triangle GDE$ 与 $\triangle EBC$ 相似，所以$$GD = \dfrac{{DE \cdot BE}}{{BC}} = \dfrac{{21}}{5},$$进而 $AG = AD - GD = \dfrac{{54}}{5}$．
连接 $GE$，则 $\angle DGE = 90^\circ $（$DE$ 为直径），从而 $\triangle GDE$ 与 $\triangle EBC$ 相似，所以$$GD = \dfrac{{DE \cdot BE}}{{BC}} = \dfrac{{21}}{5},$$进而 $AG = AD - GD = \dfrac{{54}}{5}$．
答案
解析
备注
