如图，在锐角 $\triangle ABC$ 中，$AB$ 边上的高 $CE$ 与 $AC$ 边上的高 $BD$ 交于点 $H$，以 $DE$ 为直径作圆与 $AC$ 的另一个交点为 $G$．已知 $BC=25$，$BD=20$，$BE=7$，求 $AG$ 的长．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{54}{5}$
【解析】
以 $E$ 为原点建立平面直角坐标系，则 $B\left( {7 , 0} \right)$，$C\left( {0 , 24} \right)$，$\overrightarrow {BC} $ 对应的复数为 $ - 7 + 24{\rm{i}}$，于是 $\overrightarrow {BD} $ 对应的复数为$$\left( { - 7 + 24{\rm{i}}} \right) \cdot \dfrac{4}{5}\left( {\dfrac{4}{5} + \dfrac{3}{5}{\rm{i}}} \right) = - 16 + 12{\rm{i}}.$$因此 $D\left( { - 9 , 12} \right)$，于是 $AD=DC=15$．
连接 $GE$，则 $\angle DGE = 90^\circ $（$DE$ 为直径），从而 $\triangle GDE$ 与 $\triangle EBC$ 相似，所以$$GD = \dfrac{{DE \cdot BE}}{{BC}} = \dfrac{{21}}{5},$$进而 $AG = AD - GD = \dfrac{{54}}{5}$．
连接 $GE$，则 $\angle DGE = 90^\circ $（$DE$ 为直径），从而 $\triangle GDE$ 与 $\triangle EBC$ 相似，所以$$GD = \dfrac{{DE \cdot BE}}{{BC}} = \dfrac{{21}}{5},$$进而 $AG = AD - GD = \dfrac{{54}}{5}$．
答案
解析
备注
