设 $x,y,z$ 是三个两两不等且都大于 $1$ 的正整数，若 $xyz|\left( {xy - 1} \right)\left( {yz - 1} \right)\left( {zx - 1} \right)$，求 $x,y,z$ 的所有可能值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left( {x , y , z} \right)$ 为 $\left( {2 , 3 , 5} \right)$ 或其排列
【解析】
根据题意，条件 $xyz|\left( {xy - 1} \right)\left( {yz - 1} \right)\left( {zx - 1} \right)$ 即$$ xyz|\left( {{x^2}{y^2}{z^2} - x{y^2}z - {x^2}yz - xy{z^2} + xy + yz + zx - 1} \right),$$也即$$xyz|\left( {xy + yz + zx - 1} \right),$$设 $xy + yz + zx - 1 = m \cdot xyz$，$m \in {\mathbb N^ * }$，不妨先设 $x < y < z$，则$$mx \cdot yz = xy + yz + zx - 1 \leqslant 3yz,$$于是 $mx \leqslant 3$，因此 $m = 1 , x = 2$．此时$$2y + 2z + yz - 1 = 2yz\text{即}y = 2 + \dfrac{3}{{z - 2}},$$从而 $z = 5$，$y = 3$．因此 $\left( {x , y , z} \right)$ 为 $\left( {2 , 3 , 5} \right)$ 或其排列．
答案
解析
备注
