略

函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=(x-1)({\rm e}^x+2a),$$因此可以得到讨论的分界点为 $-\dfrac{\rm e}2,0$．
（i）当 $a<-\dfrac{\rm e}2$ 时，$\ln (-2a)>1$，因此函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递增，在 $(1,\ln(-2a))$ 上单调递减，在 $(\ln(-2a),+\infty)$ 上单调递增．
（ii）当 $a=-\dfrac{\rm e}2$ 时，$\ln (-2a)=1$，因此函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增．
（iii）当 $-\dfrac{\rm e}2<a<0$ 时，$\ln (-2a)<1$，因此函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,\ln(-2a))$ 上单调递增，在 $(\ln(-2a),1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．
（iv）\quad 当 $a\geqslant 0$ 时，${\rm e}^x+2a>0$，因此函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．

$a$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$

显然 $x=1$ 不是函数 $f(x)$ 的零点．当 $x\neq 1$ 时，方程 $f(x)=0$ 等价于$$a=\dfrac{2-x}{(x-1)^2}\cdot {\rm e}^x.$$记右侧函数为 $g(x)$，则 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=-{\rm e}^x\cdot \dfrac{x^2-4x+5}{(x-1)^3},$$因此函数 $g(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递增，而在 $(1,+\infty)$ 上单调递减．
由于函数 $g(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上的取值范围是 $(0,+\infty)$，而在 $(1,+\infty)$ 上的取值范围是 $(-\infty,+\infty)$，因此当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 有两个零点，所求取值范围是 $(0,+\infty)$．
严格论证（i）当 $a\leqslant 0$ 时，由于在 $(-\infty,1)$ 上，$g(x)>0$，因此在此区间上不存在 $x$ 使得$$g(x)=a,$$而在 $(1,+\infty)$ 上，函数 $g(x)$ 单调递减，不可能存在两个零点；
（ii）当 $a>0$ 时，取 $x_1=\min\left\{1+\sqrt{\dfrac 1a},\dfrac 32\right\}$，则$$g(x_1)>\dfrac{1}{(x_1-1)^2}\geqslant a,$$而 $g(2)=0<a$，结合 $g(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，可以断定在区间 $(x_1,2)$ 上必然有一个零点；
另一方面，取 $x_2=\max\left\{1-\sqrt{\dfrac 2a},0\right\}$，则$$g(x_2)\geqslant \dfrac{2}{(x_2-1)^2}\geqslant a,$$而取 $x_3=1-\dfrac{{\rm e}}a$，则$$g(x_3)<{\rm e}\cdot \dfrac{1-x_3}{\left(x_3-1\right)^2}=\dfrac{{\rm e}}{1-x_3}=a,$$结合 $g(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递增，可以断定在区间 $(x_3,x_2)$ 上必然有一个零点；
综上所述，$a$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$．