讨论函数 $f(x)=\dfrac{x-2}{x+2}{\rm e}^x$ 的单调性，并证明当 $x>0$ 时，$(x-2){\rm e}^x+x+2>0$；
【难度】
【出处】
2016年高考全国甲卷（理）
【标注】
【答案】
$f(x)$ 在 $(-\infty,-2)$ 和 $(-2,+\infty)$ 上都单调递增
【解析】
函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-\infty,-2)\cup (-2,+\infty)$，其导函数$$f'(x)=\dfrac {x^2}{(x+2)^2}{\rm e}^x,$$于是函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,-2)$ 和 $(-2,+\infty)$ 上都单调递增．
当 $x>0$ 时，有 $f(x)>f(0)=-1$，即$$\dfrac{x-2}{x+2}{\rm e}^x>-1$$即$$(x-2){\rm e}^x+x+2>0.$$
当 $x>0$ 时，有 $f(x)>f(0)=-1$，即$$\dfrac{x-2}{x+2}{\rm e}^x>-1$$即$$(x-2){\rm e}^x+x+2>0.$$
答案
解析
备注
