求证：${\rm e}^x-\ln x>2.3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $LHS=f(x)$，则 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)={\rm e}^x-\dfrac 1x,$$于是函数 $f(x)$ 的极小值点在 $\left(\dfrac 12,1\right)$ 内．利用 ${\rm e}^x$ 在 $x=1$ 处的切线放缩，则可得$${\rm e}^x-\ln x\geqslant {\rm e}x-\ln x,$$而右侧函数的极小值点为 $x={\rm e}^{-1}$，因此可得$${\rm e}^x-\ln x>2,$$放缩过头了．
改用 $x=\dfrac 12$ 处切线，则可得$${\rm e}^x-\ln x\geqslant \sqrt{\rm e}x+\dfrac 12\sqrt{\rm e}-\ln x,$$于是可得右侧函数的极小值点为 $x={\rm e}^{-\frac 12}$，因此可得$${\rm e}^x-\ln x>\dfrac 32+\dfrac 12\sqrt{\rm e}>2.3,$$原命题得证．
改用 $x=\dfrac 12$ 处切线，则可得$${\rm e}^x-\ln x\geqslant \sqrt{\rm e}x+\dfrac 12\sqrt{\rm e}-\ln x,$$于是可得右侧函数的极小值点为 $x={\rm e}^{-\frac 12}$，因此可得$${\rm e}^x-\ln x>\dfrac 32+\dfrac 12\sqrt{\rm e}>2.3,$$原命题得证．
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