求证：当 $x\in(0,+\infty)$ 时，$\mathrm{e}^x-x^2\ln x-1>0$ 恒成立．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由引理 $1$ 可知，$$ \mathrm{e}^x-x^2\ln x-1\geqslant \mathrm{e}^x-\dfrac{x^3}{\mathrm{e} } -1 .$$令 $ f(x)=\mathrm{e}^x-\dfrac{x^3}{\mathrm{e} } -1 $，则$$ f'(x)=\mathrm{e} ^x-\dfrac{3x^2}{\mathrm{e} } .$$由引理 $ 2 $ 可知，$$ f''(x)=\mathrm{e} ^x-\dfrac{6x}{\mathrm{e} }>\mathrm{e} ^x-\mathrm{e} x\geqslant 0 ,$$所以 $ f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，所以当 $ x>0 $ 时，有$$ f'(x)>f'(0)>0 ,$$故 $ f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，所以当 $ x>0 $ 时，有$$ f(x)>f(0)=0.$$故当 $ x\in(0,+\infty)$ 时，$ \mathrm{e}^x-x^2\ln x-1>0$ 恒成立．
答案
解析
备注
