题目 设函数 $f\left( x \right) = x\left( {x-1} \right)\left( {x-a} \right)$，$a > 1$． 问题1 求导数 $f'\left( x \right)$，并证明 $f\left( x \right)$ 有两个不同的极值点 ${x_1} ,{x_2}$； 答案1 略 解析1 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=(x-1)(x-a)+x(x-a)+x(x-1)=3x^2-2(a+1)x+a,$$而$$f'(0)=a>0,f'(1)=1-a<0,f'(a)=a(a-1)>0,$$于是 $f'(x)$ 有两个变号零点，从而 $f(x)$ 有两个不同的极值点． 备注1 问题2 若不等式 $f\left( {{x_1}} \right) + f\left( {{x_2}} \right) \leqslant 0$ 成立，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $[2,+\infty )$ 解析2 根据三次函数的对称性，三次函数的对称中心 $\left(\dfrac{a+1}3,f \left( \dfrac{a+1}3\right)\right) $ 是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是$$f(x_1)+f(x_2)=2f\left(\dfrac{a+1}3\right)\leqslant 0,$$即$$2\cdot\dfrac{a+1}3\cdot\dfrac{a-2} 3\cdot\dfrac{-2a+1}3\leqslant 0,$$结合 $a>1$，可得 $a$ 的取值范围是 $[2,+\infty )$． 备注2