题目 已知函数 $f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} + a{x^2} + bx$，且 $f'\left( { - 1} \right) = 0$． 问题1 试用含 $a$ 的代数式表示 $b$； 答案1 $b=2a-1$ 解析1 $f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=x^2+2ax+b,$$于是所求的代数表达式为 $b=2a-1$． 备注1 问题2 求 $f\left( x \right)$ 的单调区间； 答案2 当 $a<1$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty ,-1)$ 和 $(1-2a,+ \infty )$，单调递减区间为 $(-1,1-2a)$；当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\mathbb R$；当 $a>1$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty,1-2a)$ 和 $(-1,+\infty )$，单调递减区间是 $(1-2a,-1)$ 解析2 在第 $(1)$ 小题的基础上，有$$f'(x)=(x+1)\cdot (x+2a-1),$$于是当 $a<1$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty ,-1)$ 和 $(1-2a,+ \infty )$，单调递减区间为 $(-1,1-2a)$；当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\mathbb R$；当 $a>1$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty,1-2a)$ 和 $(-1,+\infty )$，单调递减区间是 $(1-2a,-1)$． 备注2 问题3 令 $a =-1$，设函数 $f\left( x \right)$ 在 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）处取得极值，记点 $M\left( {{x_1},f\left( {{x_1}} \right)} \right)$，$N\left( {{x_2},f\left( {{x_2}} \right)} \right)$，证明：线段 $MN$ 与曲线 $f\left( x \right)$ 存在异于 $M,N$ 的公共点． 答案3 略 解析3 此时$$f(x)=\dfrac 13x^3-x^2-3x,$$而$$f'(x)=x^2-2x-3,$$于是 $M\left(-1,\dfrac 53\right)$，$N\left( 3,-9\right) $．根据三次函数的对称性，该公共点为三次函数 $f(x)$ 图象的对称中心 $\left(1,-\dfrac{11}3\right)$． 备注3