如图，已知抛物线的方程为 $x^2=2py,p>0$，过点 $A(0,-1)$ 作直线 $l$ 与抛物线交于 $P,Q$ 两点，点 $B$ 的坐标为 $(0,1)$，连结 $BP,BQ$，且 $QB,BP$ 与 $x$ 轴分别相交于点 $M,N$，$QB$ 与抛物线交于 $E$ 点，如果 $QB$ 的斜率与 $PB$ 的斜率之积为 $-3$，那么 $\angle MBN$ 的大小为 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
分别记点 $P,Q,E,A,B$ 的纵坐标为 $y_P,y_Q,y_E,y_A,y_B$，则由抛物线的几何平均性质有$$\begin{cases} y_Q\cdot y_P=y_A^2=1,\\
y_Q\cdot y_E=y_B^2=1,\end{cases}$$因此 $y_P=y_E$，所以直线 $PB$ 与直线 $EB$ 关于 $y$ 轴对称，若记直线 $QB$ 与直线 $PB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，则有$$k_1=-k_2,$$又由于 $k_1k_2=-3$，因此$$k_1=\pm \sqrt3.$$于是$$\angle MBN=\dfrac {\pi}{3}.$$
y_Q\cdot y_E=y_B^2=1,\end{cases}$$因此 $y_P=y_E$，所以直线 $PB$ 与直线 $EB$ 关于 $y$ 轴对称，若记直线 $QB$ 与直线 $PB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，则有$$k_1=-k_2,$$又由于 $k_1k_2=-3$，因此$$k_1=\pm \sqrt3.$$于是$$\angle MBN=\dfrac {\pi}{3}.$$
题目
答案
解析
备注
