已知 $f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + d$ 在 $\left(- \infty , 0\right)$ 上是增函数，在 $\left( {0 , 2} \right)$ 上是减函数，且方程 $f\left( x \right) = 0$ 有三个根，它们分别为从小到大依次为 $\alpha,2,\beta$．求 $\left| {\alpha-\beta } \right|$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[3,+\infty)$
【解析】
根据题意，$x=0$ 为 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=3x^2+2bx+c$$的零点，于是 $c=0$．又 $f(2)=0$，于是$$8+4b+d=0,$$即$$d=-4b-8,$$从而$$ f(x)=x^3+bx^2-(8+4b)=(x-2)\cdot\left[x^2+(b+2)x+2b+4\right]$$因此$$\left(\alpha-\beta\right)^2=\left(\alpha+\beta\right)^2-4\alpha\cdot\beta=(2-b)^2-16.$$另一方面，由 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 上是减函数得 $f'(2)\leqslant 0$，即$$12+4b \leqslant 0,$$于是可得 $b$ 的取值范围是 $(-\infty,-3)$，从而 $\left|\alpha-\beta\right|$ 的取值范围是 $[3,+\infty)$．
答案
解析
备注
