已知 $f(x)=\dfrac {x\ln x}{x-1}+a$，其中 $a>0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $f(x)$ 的单调性；标注答案函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上单调递增解析函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{x-1-\ln x}{(x-1)^2},$$而我们熟知 $\ln x\leqslant x-1$，因此 $f'(x)\geqslant 0$，因此函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 上单调递增．
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若 $g(x)=(x^2-x)\cdot f(x)$，且方程 $g(x)=m$ 有两个不同的实数解 $x_1,x_2$，求证：$x_1+x_2>1$．标注答案略解析不妨设 $x_1<x_2$．当 $x_2\geqslant 1$ 时不等式显然成立，接下来考虑 $x_1,x_2\in (0,1)$ 的情形．由于$$\left(x_1^2-x_1\right)\cdot f(x_1)=\left(x_2^2-x_2\right)\cdot f(x_2),$$且 $f(x)>0$，于是$$\dfrac{x_1^2-x_1}{x_2^2-x_2}=\dfrac{f(x_2)}{f(x_1)}>1,$$即$$(x_1-x_2)\left(x_1+x_2-1\right)<0,$$因此 $x_1+x_2>1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
