已知 $f(x)=x^2-2x+\sin\dfrac{\pi}2x$，$x\in (0,1)$．记 $f(x)$ 的极小值点为 $x_0$，若 $f(x_1)=f(x_2)$，且 $x_1<x_2$，求证：$x_1+x_2>2x_0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\begin{split} f'(x)&=2x-2+\dfrac{\pi}2\cos\dfrac{\pi x}2,\\
f''(x)&=2-\dfrac{\pi^2}{4}\sin^2\dfrac{\pi x}2,\\
f'''(x)&=-\dfrac{\pi^3}{8}\cos\dfrac{\pi x}2,\end{split} \]于是可得 $0<x_1<x_0<x_2<1$．要证明 $x_1+x_2>2x_2$，只需要证明$$f'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)>f'(x_0)=0,$$也即$$x_1+x_2-2+\dfrac{\pi}2\cos\dfrac{\pi (x_1+x_2)}{4}>0,$$由 $f(x_1)=f(x_2)$ 得$$(x_1+x_2-2)(x_2-x_1)+2\sin\dfrac{\pi (x_2-x_1)}{4}\cos\dfrac{\pi(x_1+x_2)}4=0,$$结合 $x_1+x_2<2$，$x-\sin x>0$，命题成立．
f''(x)&=2-\dfrac{\pi^2}{4}\sin^2\dfrac{\pi x}2,\\
f'''(x)&=-\dfrac{\pi^3}{8}\cos\dfrac{\pi x}2,\end{split} \]于是可得 $0<x_1<x_0<x_2<1$．要证明 $x_1+x_2>2x_2$，只需要证明$$f'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)>f'(x_0)=0,$$也即$$x_1+x_2-2+\dfrac{\pi}2\cos\dfrac{\pi (x_1+x_2)}{4}>0,$$由 $f(x_1)=f(x_2)$ 得$$(x_1+x_2-2)(x_2-x_1)+2\sin\dfrac{\pi (x_2-x_1)}{4}\cos\dfrac{\pi(x_1+x_2)}4=0,$$结合 $x_1+x_2<2$，$x-\sin x>0$，命题成立．
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解析
备注
