已知 $f(x)=x\ln x-\dfrac{k}{x}$ 的两个零点为 $x_1,x_2$，记 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$，求证：$f'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)\neq 0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据已知，有 $x_1^2\ln x_1=x_2^2\ln x_2=k$，设 $\dfrac{x_1}{x_2}=t$，$t>1$，则$$x_1^2=\dfrac{k(1-t^2)}{\ln t},x_2^2=\dfrac{k(1-t^2)}{t^2\ln t},k<0.$$由于 $f'(x)=1+\ln x+\dfrac{k}{x^2}$，于是$$\begin{split} f'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)=&1+\ln\dfrac{x_1+x_2}2+\dfrac{k}{\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)^2}\\>&1+\ln\dfrac{(t+1)x_2}2+\dfrac{k}{x_1x_2},\end{split} $$将 $x_1^2,x_2^2$ 代入（其中 $\ln x_2=\dfrac{k}{x_2^2}$），得$$\begin{split} f'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)>&1+\ln\dfrac{t+1}2+\dfrac{t^2\ln t}{1-t^2}-\dfrac{t\ln t}{t^2-1}\\=&1+\ln\dfrac{t+1}2+\dfrac{t\ln t}{1-t}.\end{split} $$接下来用分析法证明$$\forall t>1,1+\ln\dfrac{t+1}2+\dfrac{t\ln t}{1-t}>0,$$即$$\forall t>1,t-1+(t-1)\ln\dfrac{t+1}2-t\ln t>0.$$设 $\varphi(t)=t-1+(t-1)\ln\dfrac{t+1}2-t\ln t$（$t>1$），则其导函数$$\varphi'(t)=\dfrac{t-1}{t+1}+\ln\dfrac{t+1}{2t}>\dfrac{t-1}{t+1}+\left(1-\dfrac{2t}{t+1}\right)=0,$$其中用到了不等式 $\ln x\geqslant 1-\dfrac 1x$（等号当且仅当 $x=1$ 时取得）．因此 $\varphi(t)$ 在 $t>1$ 时单调递增，从而当 $t>1$ 时，$\varphi(t)>\varphi(1)=0$，命题成立．
综上所述，有 $f'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)>0$，因此原命题得证．
综上所述，有 $f'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)>0$，因此原命题得证．
答案
解析
备注
