无

略

利用方程 $k=x^2\ln x$ 研究函数的零点，由$$(x^2\ln x)'_x=x(1+2\ln x),$$可得 $k\in\left(-\dfrac{1}{2{\rm e}},0\right)$．函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=1+\ln x+\dfrac{k}{x^2}.$$由于 $k<0$，因此 $f'(x)$ 单调递增，设其唯一零点为 $x_0$，则$$1+\ln x_0+\dfrac{k}{x_0^2}=0,$$只需要证明 $x_1+x_2\neq 2x_0$ 即可．构造函数 $g(x)=f(x)-f(2x_0-x)$，$x\in (0,x_0]$，则其导函数\[\begin{split} g'(x)&=f'(x)+f'(2x_0-x)\\ &=\ln\left[x(2x_0-x)\right]+k\left[\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(2x_0-x)^2}\right]+2\\ &<\ln\left[\dfrac{x+(2x_0-x)}{2}\right]^2+k\cdot \dfrac{(1+1)^3}{\left[x+(2x_0-x)\right]^2}+2\\& =2\left(\ln x_0+\dfrac{k}{x_0^2}+1\right) \\ &=2f'(x_0)=0,\end{split} \]因此在 $(0,x_0)$ 上有 $g(x)$ 单调递减，从而 $g(x)>g(x_0)=0$，不妨设 $x_1<x_2$，于是$$f(x_2)=f(x_1)>f(2x_0-x_1),$$而 $f(x)$ 在 $(x_0,+\infty)$ 上单调递增，于是 $x_2>2x_0-x_1$，从而 $x_1+x_2>2x_0$，命题得证．