无

略

将问题转化为证明 $x_1+x_2\neq 2x_0$ 后，考虑到$$f''(x)=\dfrac 1x-\dfrac{2k}{x^3},$$构造函数$$h(x)=f(x)-\left[\dfrac 12f''(x_0)(x-x_0)^2+f(x_0)\right],$$则其二阶导函数$$h''(x)=f''(x)-f''(x_0)=\dfrac 1x-\dfrac{2k}{x^3}-\dfrac{1}{x_0}+\dfrac{2k}{x_0^3}=\dfrac{(x-x_0)\left[2k(x^2+x_0x+x_0^2)-x_0^2x^2\right]}{x^3x_0^3}.$$考虑到 $k<0$，于是 $2k(x^2+x_0x+x_0^2)-x_0^2x^2<0$，因此在 $(0,x_0)$ 上 $h''(x)>0$，在 $(x_0,+\infty)$ 上 $h''(x)<0$，结合 $h''(x_0)=0$ 可得在 $(0,+\infty)$ 上 $h'(x)\leqslant 0$，又 $h(x_0)=0$，因此在 $(0,x_0)$ 上 $h(x)>0$，在 $(x_0,+\infty)$ 上 $h(x)<0$，如图．这样就有 $f(x)$ 的两个零点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）和二次函数 $y=\dfrac 12f''(x_0)(x-x_0)^2+f(x_0)$ 的两个零点 $x_3,x_4$（$x_3<x_4$）满足$$x_3<x_1<x_4<x_2,$$进而$$x_1+x_2>x_3+x_4=2x_0,$$原命题得证．