已知 $f(x)=\ln x-\dfrac 1x$ 与 $g(x)=ax$ 交于两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，求证：$x_1x_2>2{\mathrm e}^2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意有 $\ln x_1-\dfrac{1}{x_1}=ax_1$，$\ln x_2-\dfrac{1}{x_2}=ax_2$，两式分别相加、相减可得$$\ln\left(x_1x_2\right)-\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=a\left(x_1+x_2\right),\\\ln\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}=a\left(x_1-x_2\right).$$进而消去 $a$，有$$\ln\left(x_1x_2\right)-2\cdot\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\cdot\ln\dfrac{x_1}{x_2}.$$对于右边，这是对数函数的一个重要放缩，显然成立．因此原命题得证．
答案
解析
备注
