已知圆 $C:(x-1)^2+(y-4)^2=10$ 和点 $P(5,t)$，若圆 $C$ 上存在两点 $A,B$，使得 $PA\perp PB$，则实数 $t$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
设 $M$ 为圆 $N$ 所在平面上一点，$S,T$ 是半径为 $r$ 的圆 $N$ 上的两个动点，考虑 $\angle SMT$ 的取值范围 $D$．
情形一 $M$ 在圆内，$D=[0,\pi]$．
情形二 $M$ 在圆上，$D=[0,\pi)$．
情形三 $M$ 在圆外，$D=[0,2\theta]$，其中 $\sin\theta=\dfrac{r}{MN}$．
根据题意，有\[\dfrac{\sqrt{10}}{PC}\geqslant \sin \dfrac{\pi}4,\]即\[\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{4^2+(t-4)^2}}\geqslant \dfrac{\sqrt 2}2,\]于是实数 $t$ 的取值范围是 $[2,6]$．
根据题意，有\[\dfrac{\sqrt{10}}{PC}\geqslant \sin \dfrac{\pi}4,\]即\[\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{4^2+(t-4)^2}}\geqslant \dfrac{\sqrt 2}2,\]于是实数 $t$ 的取值范围是 $[2,6]$．
题目
答案
解析
备注
