已知 $f(x)=\dfrac{(x-a)^2}{\ln x}$，其中 $a\in (0,1)$．设函数 $f(x)$ 的 $3$ 个极值点分别为 $x_1,x_2,x_3$，且 $x_1<x_2<x_3$，求证：$x_1+x_3>\dfrac{2}{\sqrt {\rm e}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有$$f'(x)=\dfrac{(x-a)\left(2\ln x+\dfrac ax-1\right)}{\ln ^2x},$$令 $g(x)=2\ln x+\dfrac ax-1$，于是$$g'(x)=\dfrac{2x-a}{x^2},$$于是 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac a2\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac a2,+\infty\right)$ 上单调递增．又 $g(a)=2\ln a<0$，$x_1<x_2<x_3$，于是$$0<x_1<\dfrac a2<a<3.$$令 $h(x)=x-2x\ln x$，设函数$$\varphi(x)=h(x)-h\left(\dfrac{2}{\sqrt{\rm e}}-x\right),x\in\left(0,\dfrac{1}{\sqrt {\rm e}}\right),$$证明 $\varphi'(x)>0$ 即可．
答案
解析
备注
