题目 已知 $f(x)=x\ln x-\dfrac{k}{x}$ 有两个不同的零点 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$． 问题1 求 $k$ 的取值范围； 答案1 $\left(-\dfrac{1}{2{\rm e}},0\right)$ 解析1 题意即关于 $x$ 的方程 $x^2\ln x=k$ 有两个实数根 $x_1,x_2$，设函数 $g(x)=x^2\ln x$，则其导函数$$g'(x)=x(2\ln x+1),x>0.$$考虑到$$\lim_{x\to 0}x^2\ln x=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{-\ln x}{x^2}=-\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x^2},$$而当 $x>1$ 时，有$$0<\dfrac{\ln x}{x^2}<\dfrac{x-1}{x^2}<\dfrac 1x,$$于是 $\lim\limits_{x\to 0}x^2\ln x=0$，如图．不难得到 $k$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac{1}{2{\rm e}},0\right)$，而此时 $0<x_1<\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}<x_2<1$． 备注1 问题2 求证：$1<x_1+x_2<\dfrac{2}{\sqrt{\rm e}}$． 答案2 略 解析2 <sol>对称化方法</sol> 先证明右边的不等式．由于函数 $g(x)$ 在 $\left(\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}},+\infty\right)$ 上单调递增，而 $x_2,\dfrac{2}{\sqrt{\rm e}}-x_1\in \left(\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}},+\infty\right)$，因此只需要证明$$g(x_1)=g(x_2)<g\left(\dfrac{2}{\sqrt{\rm e}}-x_1\right),$$也即$$\forall x\in \left(0,\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}\right),g(x)-g\left(\dfrac{2}{\sqrt{\rm e}}-x\right)<0.$$类似的，左边不等式的证明等价于$$\forall x\in \left(\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}},1\right),g(x)-g\left(1-x\right)<0.$$接下来的证明从略． 备注2