若 $\forall x\geqslant 0,{\rm e}^{mx}-mx^2-1\geqslant 0$，求正实数 $m$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[-W(-2{\rm e}^{-2})(W(-2{\rm e}^{-2})+2),+\infty\right)$
【解析】
当 $x=0$ 时，不等式显然成立．当 $x>0$ 时，问题等价于$$\forall x>0,{\rm e}^x-\dfrac{x^2}m-1\geqslant 0,$$即$$\dfrac 1m\leqslant \dfrac{{\rm e}^x-1}{x^2},x>0.$$令 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^x-1}{x^2}$，则其导函数$$f'(x)=\dfrac{{\rm e}^x(x-2)+2}{x^3}.$$注意到方程$${\rm e}^x(x-2)+2=0,$$即$$(x-2){\rm e}^{x-2}=-2{\rm e}^{-2},$$因此函数 $f(x)$ 的极小值点为 $x=2+W(-2{\rm e}^{-2})$（注意舍去 $x=2+W_{-1}(-2{\rm e}^{-2})$）．因此正实数 $m$ 的取值范围是不等式$$\dfrac 1m\leqslant f(2+W(-2{\rm e}^{-2}))$$的解，化简得 $m$ 的取值范围是 $\left[-W(-2{\rm e}^{-2})(W(-2{\rm e}^{-2})+2),+\infty\right)$．
答案
解析
备注
