已知 $3^a+13^b=17^a$，$5^a+7^b=11^b$，判断实数 $a,b$ 的大小关系．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a<b$
【解析】
用反证法，若 $a\geqslant b$，则$$\begin{cases} 13^a\geqslant 13^b=17^a-3^a,\\ 5^b\leqslant 5^a=11^b-7^b,\end{cases} $$也即$$\begin{cases} \left(\dfrac{13}{17}\right)^a+\left(\dfrac{3}{17}\right)^a\geqslant 1,\\ \left(\dfrac{5}{11}\right)^b+\left(\dfrac{7}{11}\right)^b\leqslant 1,\end{cases} $$由于 $f(x)=\left(\dfrac{13}{17}\right)^x+\left(\dfrac{3}{17}\right)^x$ 以及 $g(x)=\left(\dfrac{5}{11}\right)^x+\left(\dfrac{7}{11}\right)^x$ 均为 $\mathbb R$ 上的单调递减函数，因此由$$\begin{cases}f(a)\geqslant 1>f(1),\\ g(b)\leqslant 1<g(1),\end{cases} $$可得 $a<1<b$，矛盾．
综上所述，$a<b$．
综上所述，$a<b$．
答案
解析
备注
