无

$a+b$ 的值为 $\dfrac 32$

换元法令 $t=a+b$，则 $b=t-a$，代入 ${\log_2}\sqrt{2b+1}+b=2$ 中有$${\log_2}\sqrt{2t-2a+1}+t-a=2,$$将对数式整理成指数式，有$$2t-2a+1=2^{4+2a-2t},$$将此式与已知条件的第一个式子在形式上尽量靠拢，有$$4^{a+\frac 32-t}+a=t+\frac 12,$$不难观察得 $t=\dfrac 32$．
接下来补充证明 $t=\dfrac 32$ 的唯一性．事实上由已知条件的第一个式子可知 $a$ 是唯一确定的（左边关于 $a$ 是单调递增函数），用类似的方式可以说明 $t$ 也是唯一确定的．
数形结合原方程组等价于$$\begin{cases}2^{2a+1}+(2a+1)=5,\\{\log_2}\sqrt{2b+1}+b=2,\end{cases}$$令 $u=2a+1$，$v=2b+1$，则$$a+b=\frac 12(u+v)-1.\qquad\cdots (*)$$此时条件转化为$$\begin{cases}2^u+u=5,\\{\log_2}v+v=5.\end{cases}$$于是 $u,v$ 分别是函数 $y=2^x$ 与函数 $y={\log_2}x$ 的图象与直线 $y=5-x$ 的交点横坐标，如图．因为 $y=2^x$ 与 $y={\log_2}x$ 互为反函数，图象关于直线 $y=x$ 对称，于是$$u+v=x_A+x_B=2x_M=5.\qquad\cdots (**)$$由（*）（**）可得，$a+b$ 的值为 $\dfrac 32$．