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设 $a,b$ 为实数，且 $|a|+|b|<1$，方程 $x^2+ax+b=0$ 存在两个实根 $\alpha,\beta$，求证：$|\alpha|<1$ 且 $|\beta|<1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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【答案】
略
【解析】
基于根的证明根据题意有 $|\alpha+\beta|+|\alpha\cdot\beta|<1$．
情形一 $\alpha\cdot \beta\geqslant 0$．此时 $|\alpha|+|\beta|=|\alpha+\beta|<1$，因此原命题得证．
情形二 $\alpha\cdot \beta< 0$．不妨设 $|\alpha|\geqslant |\beta|$，则$$|\alpha|-|\beta|+|\alpha|\cdot |\beta|<1,$$即$$(|\alpha|-1)(|\beta|+1)<0,$$从而 $|\alpha|<1$，原命题得证．
综上所述，原命题成立．
基于系数的证明根据题意，方程的根为 $\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}2$，而$$\begin{split} \left|\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}2\right|\leqslant &\dfrac{|a|+\sqrt{a^2+4|b|}}2\\<&\dfrac{|a|+\sqrt{a^2+4(1-|a|)}}2\\=&\dfrac{|a|+2-|a|}2=1,\end{split} $$原命题得证．
基于函数值的证明设 $f(x)=x^2+ax+b$，则其对称轴 $x=-\dfrac a2$ 在区间 $(-1,1)$ 内，且$$\begin{cases} f(1)=1+a+b>|a|+|b|+a+b\geqslant 0,\\ f(-1)=1-a+b>|a|+|b|-a+b\geqslant 0,\end{cases}$$因此原命题得证．
答案 解析 备注
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