函数 $f(x)=x^2-\dfrac 13x$ 是 $\Omega$ 函数，函数 $g(x)=\sin \pi x$，不是 $\Omega$ 函数

函数 $f(x)=x^2-\dfrac 13x$ 是 $\Omega$ 函数，因为 $f\left(\dfrac 13\right)=f\left(\left[\dfrac 13\right]\right)=0$．函数 $g(x)=\sin \pi x$，不是 $\Omega$ 函数．

$T$ 的最小值为 $1$

$T=1$ 的例子为 $f(x)=\left|\sin{\pi x}\right|$，因此只需要证明当 $0<T<1$ 时，函数 $f(x)$ 必然为 $\Omega$ 函数．事实上，一方面 $[T]=0$，于是 $f([T])=f(0)$；另一方面函数 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，于是 $f(T)=f(0)$．因此 $f([T])=f(T)$，函数 $f(x)$ 为 $\Omega$ 函数．

$\left\{a\left|a\neq n^2\text{ 且 } a\neq n(n+1),a\in\mathbb R^+,n\in\mathbb N^*\right.\right\}$

第一种情况当 $a \leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 与 $(0,+\infty)$ 上分别单调递增．因为 $x$ 与 $[x]$ 必在同一个单调区间上，所以对任意的 $x\in\mathbb R\text{且 } x\notin \mathbb Z\text{且 } x\notin (0,1)$，都有 $x>[x]$，因此 $f(x)>f([x])$，函数 $f(x)$ 不是 $\Omega$ 函数．
第二种情况当 $a>0$ 且 $\sqrt a$ 为正整数时，那么由于在每个取样区间 $[n,n+1)$（$n\in\mathbb Z$）上，函数 $f(x)$ 均为单调函数，因此函数 $f(x)$ 不是 $\Omega$ 函数．
第三种情况当 $a>0$ 且 $\sqrt a$ 不为正整数时，设 $k^2<a<(k+1)^2$（$k\in\mathbb N^*$）．因此$$f(-k)<f(-k-1)\text{或 } f\left(k+1\right)>f\left(k\right) ,$$即$$-k+\dfrac{a}{-k}<-k-1+\dfrac{a}{-k-1}\text{或 } k+1+\dfrac{a}{k+1}>k+\dfrac{a}{k},$$也即$$k+\dfrac{a}{k}\neq k+1+\dfrac{a}{k+1},$$整理得$$a\neq k(k+1),$$因此函数 $f(x)$ 当 $a\neq k(k+1)$（$k\in\mathbb N^*$）时是 $\Omega$ 函数．
综上，当 $a$ 的取值范围是 $\left\{a\left|a\neq n^2\text{ 且 } a\neq n(n+1),a\in\mathbb R^+,n\in\mathbb N^*\right.\right\}$．
第三种情况的另法
当 $a>0$ 时，考虑 $x\in\mathbb R\text{且 } x\notin Z\text{ 且 } x\notin (0,1)$ 的条件下 $f(x)=f([x])$ 即$$x+\dfrac ax=[x]+\dfrac a{[x]},\text{也即}x-[x]-\dfrac{a\left(x-[x]\right)}{x\cdot [x]}=0,$$两边约去正数 $x-[x]$，得 $a=x\cdot [x]$．接下来只需要求出 $h(x)=x\cdot [x]$，其中 $x\in\mathbb R\text{且 } x\notin Z$ 的值域，即为 $a$ 的取值范围，也即$$\left\{a\left|a\neq n^2\text{且 } a\neq n(n+1),a\in\mathbb R^+,n\in\mathbb Z\right.\right\},$$即不为整数的平方以及相邻两个整数的乘积的所有正实数