求函数 $f(x)=\cos x+\sqrt{\cos^2x-4\sqrt{2}\cos x+4\sin x+9}$ 的最大值与最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
首先对函数 $f(x)$ 进行代数变形，以期挖掘几何意义：$$f(x)=\cos x+\sqrt{\left(\sqrt 2\cos x-2\right)^2+\left(\sin x+2\right)^2}.$$根号下的部分的几何意义比较明显，即椭圆 $\dfrac{m^2}2+n^2=1$ 上的点 $P\left(\sqrt 2\cos x,\sin x\right)$ 到点 $A\left(2,-2\right)$ 的距离．
接下来考虑 $\cos x$ 的几何意义．
注意到椭圆的左准线为 $x=-2$，离心率 $e=\dfrac{\sqrt 2}2$，于是 $P$ 到左焦点的距离为$$PF_1=\dfrac{\sqrt 2}2\left(\sqrt 2\cos x+2\right)=\cos x+\sqrt 2,$$因此我们有$$\begin{split}f(x)&=PF_1+PA-\sqrt 2\\&\geqslant F_1A-\sqrt 2\\&=\sqrt{13}-\sqrt 2.\end{split}$$另一方面，由椭圆的定义，有$$\begin{split}f(x)&=\left(2\sqrt 2-PF_2\right)+PA-\sqrt 2\\&=PA-PF_2+\sqrt 2\\&\leqslant AF_2+\sqrt 2\\&=\sqrt 5+\sqrt 2,\end{split}$$于是函数的最大值与最小值分别为 $\sqrt 5+\sqrt 2$ 和 $\sqrt{13}-\sqrt 2$．
接下来考虑 $\cos x$ 的几何意义．
注意到椭圆的左准线为 $x=-2$，离心率 $e=\dfrac{\sqrt 2}2$，于是 $P$ 到左焦点的距离为$$PF_1=\dfrac{\sqrt 2}2\left(\sqrt 2\cos x+2\right)=\cos x+\sqrt 2,$$因此我们有$$\begin{split}f(x)&=PF_1+PA-\sqrt 2\\&\geqslant F_1A-\sqrt 2\\&=\sqrt{13}-\sqrt 2.\end{split}$$另一方面，由椭圆的定义，有$$\begin{split}f(x)&=\left(2\sqrt 2-PF_2\right)+PA-\sqrt 2\\&=PA-PF_2+\sqrt 2\\&\leqslant AF_2+\sqrt 2\\&=\sqrt 5+\sqrt 2,\end{split}$$于是函数的最大值与最小值分别为 $\sqrt 5+\sqrt 2$ 和 $\sqrt{13}-\sqrt 2$．
答案
解析
备注
