一个袋子里有 $a$ 个白球和 $b$ 个黑球，从中任取一个球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复 $n$ 次这样的操作后，记袋中白球的个数为 ${x_n}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $E(x_1)$；标注答案$\dfrac{a^2+ab+b}{a+b}$解析$$E(x_1) = \dfrac{a}{{a + b}} \cdot a + \dfrac{b}{{a + b}} \cdot \left( {a + 1} \right) = \dfrac{{{a^2} + ab + b}}{{a + b}}.$$
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设 $P\left( {{x_n} = a + k} \right) = {p_k}$，求 $P\left( {{x_{n + 1}} = a + k} \right)$，$k = 0 , 1 , 2 , \cdots , b$；标注答案$P(x_{n+1})=\begin{cases}p_0\cdot \dfrac{a}{a+b},&k=0,\\ {p_k} \cdot \dfrac{{a + k}}{{a + b}} + {p_{k - 1}} \cdot \dfrac{{b - k + 1}}{{a + b}},&k\geqslant 1\end{cases}$解析$k = 0$ 时，$P\left( {{x_{n + 1}} = a} \right) = {p_0} \cdot \dfrac{a}{{a + b}}$．
$k \geqslant 1$ 时，根据全概率公式：\[\begin{split}P\left( {{x_{n + 1}} = a + k} \right)& = P\left( {{x_n} = a + k} \right) \cdot \dfrac{{a + k}}{{a + b}} + P\left( {{x_n} = a + k - 1} \right) \cdot \dfrac{{\left( {a + b} \right) - \left( {a + k - 1} \right)}}{{a + b}}\\&= {p_k} \cdot \dfrac{{a + k}}{{a + b}} + {p_{k - 1}} \cdot \dfrac{{b - k + 1}}{{a + b}}.\end{split}\] -
证明：$E(x_{n + 1}) = \left( {1 - \dfrac{1}{{a + b}}} \right)E(x_n) + 1$．标注答案略解析$$\begin{split}E(x_{n + 1})&=\dfrac{{E(x_n)}}{{a + b}}\cdot E(x_n)+ \dfrac{{\left({a + b} \right)- E(x_n)}}{{a + b}} \cdot \left({E(x_n)+ 1} \right)\\&=\left({1 - \dfrac{1}{{a + b}}} \right)E(x_n)+ 1.\end{split}$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
