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已知坐标平面 $xOy$ 内一点 $P(m,n)$，过点 $P$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴正半轴和 $y$ 轴正半轴分别交于点 $A,B$，选择合适的直线形式，证明：当 $P$ 点平分线段 $AB$ 时 $\triangle PAB$ 的面积取得最小值．
【难度】
【出处】
无
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【答案】
略
【解析】
点斜式设 $l:y=k(x-m)+n$，则 $A\left(m-\dfrac nk,0\right)$，$B\left(0,n-mk\right)$，可得 $k<0$．于是 $\triangle PAB$ 的面积\[S=\dfrac 12\cdot \left(m-\dfrac nk\right)\cdot \left(n-mk\right)=mn+\dfrac 12\left[m^2(-k)+\dfrac{n^2}{-k}\right]\geqslant 2mn,\]等号当且仅当 $k=-\dfrac nm$ 时取得．此时 $A(2m,0)$，$B(0,2n)$，因此原命题得证．
截距式设 $l:\dfrac xa+\dfrac yb=1$（$a,b>0$），则\[\dfrac ma+\dfrac nb=1,\]于是 $\triangle PAB$ 的面积\[S=\dfrac 12ab=\dfrac 12ab\left(\dfrac ma+\dfrac nb\right)^2=\dfrac 12\left(\dfrac {m^2b}a+\dfrac {n^2a}b\right)+mn\geqslant 2mn,\]等号当且仅当 $\dfrac ab=\dfrac mn$ 时取得．此时 $A(2m,0)$，$B(0,2n)$，因此原命题得证．
点法式设 $l:a(x-m)+b(y-n)=0$，则 $\triangle PAB$ 的面积\[S=\dfrac 12\left(m+\dfrac {nb}a\right)\left(n+\dfrac{ma}{b}\right)=mn+\dfrac 12\left(\dfrac{m^2a}{b}+\dfrac{n^2b}{a}\right)\geqslant 2mn,\]等号当且仅当 $\dfrac ab=\dfrac nm$ 时取得．此时 $A(2m,0)$，$B(0,2n)$，因此原命题得证．
答案 解析 备注
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