正实数 $a,b,c,d$ 满足 $a+b+c+d=abcd$．求$$a^4(bcd-1)+b^4(cda-1)+c^4(dab-1)+d^4(abc-1)$$的最小值．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
$48\sqrt[3]{4}$
【解析】
因为 $a,b,c,d>0$，且$$a+b+c+d=abcd,$$故有$$a(bcd-1)=b+c+d.$$同理有\[\begin{split}b(cda-1)&=c+d+a,\\ c(dab-1)&=d+a+b,\\ d(abc-1)&=a+b+c.\end{split}\]由均值不等式得$$abcd=a+b+c+d\geqslant 4\sqrt[4]{abcd},$$其中等号成立当且仅当 $a=b=c=d=\sqrt[3]{4}$．记原式为 $M$，则\[\begin{split}M=&a^3(b+c+d)+b^3(c+d+a)+c^3(d+a+b)+d^3(a+b+c)\\ \geqslant &12\sqrt[12]{(a^3ba^3ca^3d)\cdot \left(b^3cb^3db^3a\right)\cdot (c^4dc^3ac^3b)\cdot(d^3ad^3bd^3c)}\\=&12\sqrt[12]{a^9b^9c^9d^9(bcd)(cda)(dab)(abc)}\\=&12abcd\\=&12\left(\sqrt[3]{4}\right)^4
\\ =&48\sqrt[3]4.\end{split}\]
\\ =&48\sqrt[3]4.\end{split}\]
答案
解析
备注
