题目 已知数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 满足：$a_1=2p$，$a_{n+1}=\dfrac 12 \left(a_n+\dfrac{p^2}{a_n}\right)$，$b_n=\dfrac{a_n+p}{a_n-p}(n\in {\mathbb N^*},p>0)$． 问题1 求数列 $\{b_n\}$ 的通项； 答案1 $b_n=3^{2^{n-1}}$ 解析1 因为$$a_{n+1}=\dfrac 12 \left(a_n+\dfrac{p^2}{a_n}\right),b_n=\dfrac{a_n+p}{a_n-p}(n\in {\mathbb N^*},p>0)$$所以\[\begin{split}b_{n+1}&=\dfrac{a_{n+1}+p}{a_{n+1}-p}\\&=\dfrac{a_n+\dfrac{p^2}{a_n}+2p}{a_n+\dfrac{p^2}{a_n}-2p}\\&=\dfrac{(a_n+p)^2}{(a_n-p)^2}\\&=b_n^2>0(n\in {\mathbb N}^*,p>0).\end{split}\]所以$$\lg{b_{n+1}}=2\lg{b_n}.$$因为 $p>0$，所以$$b_n=\dfrac{a_n+p}{a_n-p}\ne 1,\lg{b_n}\ne 0,$$所以$$\dfrac{\lg{b_{n+1}}}{\lg{b_n}}=2.$$故数列 $\{\lg{b_n}\}$ 是以 $2$ 为公比，首项为 $\lg{b_1}=\lg 3$ 的等比数列．<br/>故 $\lg{b_n}=2^{n-1}\cdot \lg 3$，即 $b_n=3^{2^{n-1}}$． 备注1 问题2 证明：$\dfrac{a_n-p}{a_{n+1}-p}=3^{2^{n-1}}+1$； 答案2 略 解析2 由 $b_n=\dfrac{a_n+p}{a_n-p}(n\in {\mathbb N^*},p>0)$ 得$$a_n=\dfrac{b_n+1}{b_n-1}\cdot p=p+\dfrac{2p}{3^{2^{n-1}}-1},$$所以\[\begin{split}\dfrac{a_n-p}{a_{n+1}-p}&=\dfrac{\dfrac{2p}{3^{2^{n-1}}-1}}{\dfrac{2p}{3^{2^{n-1}}-1}}\\&=\dfrac{3^{2^n}-1}{3^{2^{n-1}}-1}\\&=\dfrac{(3^{2^{n-1}})^2-1}{3^{2^{n-1}}-1}\\&=3^{2^{n-1}}+1,\end{split}\]命题得证． 备注2 问题3 设 $S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，当 $n\geqslant 2$ 时，$S_n$ 与 $\left(n+\dfrac{23}{18}\right)p$ 的大小关系是否确定？请说明理由． 答案3 确定，$S_n<\left(n+\dfrac{23}{18}\right)p$ 解析3 当 $n\geqslant 2$ 时，$$a_{n+1}-p=\dfrac{a_n-p}{3^{2^{n-1}}+1}\leqslant \dfrac 1{10}(a_n-p),$$故当 $n=2$ 时，\[\begin{split}&S_n=S_2=a_1+a_2=2p+\dfrac 54 p=\dfrac{13}{4}p,\\&\left(n+\dfrac{23}{18}\right)p=\left(2+\dfrac{23}{18}\right)p=\dfrac{59}{18}p,\end{split}\]而$$\dfrac{13}{4}p-\dfrac{59}{18}p=-\dfrac 1{36}p<0,$$即$$S_n<\left(n+\dfrac{23}{18}\right)p.$$当 $n\geqslant 3$ 时，\[\begin{split}&a_3-p\leqslant \dfrac 1{10}(a_2-p),\\ &a_4-p\leqslant \dfrac 1{10}(a_3-p),\\& \cdots \\ &a_n-p\leqslant \dfrac 1{10}(a_{n-1}-p),\end{split}\]所以 $a_1=2p$，$a_2=\dfrac{5p}{4}$，从而$$10S_n-\dfrac{65}{2}p-10(n-2)p\leqslant S_n-a_n-2p-(n-2)p,$$故$$S_n\leqslant \left[(n-2)+\dfrac{61}{18}-\dfrac{3^{2^{n-1}}+1}{9(3^{2^{n-1}}-1)}\right]\cdot p<\left(n+\dfrac{23}{18}\right)p.$$综上，当 $n\geqslant 2$ 时，$S_n<\left(n+\dfrac{23}{18}\right)p$． 备注3