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已知 $a,b,c\in \mathbb{Z} $，且 $(a-b)(b-c)(c-a)=a+b+c$，则 $a+b+c$ 可能为 \((\qquad)\)
A: $126$
B: $144$
C: $162$
D: 前三个答案都不对
【难度】
【出处】
2015年北京大学博雅计划数学试卷
【标注】
  • 题型
    >
    数论初步
    >
    解不定方程
  • 知识点
    >
    数论初步
    >
    整除与同余
【答案】
C
【解析】
考虑 $a,b,c$ 模 $3$ 的余数．
情形一余数互不相同．此时 $3\mid a+b+c$，而 $3\nmid a-b,b-c,c-a$，矛盾．
情形二有相同的余数，不妨设 $a\equiv b\pmod 3$，则 $3\mid a-b$，从而\[3\mid a+b+c,\]而\[a+b+c\equiv 2a+c\equiv c-a\pmod 3,\]于是 $a,b,c$ 模 $3$ 同余，从而\[27\mid a+b+c.\]下面令$$\begin{cases}a-b=-3,\\b-c=-6,\\a+b+c=162,\end{cases}$$解得\[(a,b,c)=(50,53,59),\]经检验满足题意，故选 C．
题目 答案 解析 备注
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