已知 $y=ax^2+bx+c$（$a\ne 0$）的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 满足：当 $-1\leqslant x \leqslant 1$ 时，$-1\leqslant y\leqslant 1$，且抛物线经过点 $A(1,-1)$ 和点 $B(-1,1)$，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a$ 的取值范围是 $-\dfrac 12\leqslant a<0$ 或 $0<a\leqslant \dfrac 12$
【解析】
因为抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过点 $A(1,-1)$ 和点 $B(-1,1)$，
所以 $a+b+c=-1,a-b+c=1$，
所以 $a+c=0,b=-1$，
所以抛物线为 $y=ax^2-x-a$，对称轴为 $x=\dfrac {1}{2a}$，
当 $a<0$ 时，抛物线开口向下，且 $x=\dfrac {1}{2a}<0$，
因为抛物线 $y=ax^2-x-a$（$a\ne 0$）经过点 $A(1,-1)$ 和点 $B(-1,1)$，
如图可知，当 $\dfrac{1}{2a}\leqslant -1$ 时符合题意，所以 $-\dfrac 12\leqslant a<0$，
当 $-1<\dfrac {1}{2a}<0$ 时，图象不符合 $-1\leqslant y\leqslant 1$ 的要求舍去，
同理，当 $a>0$ 时，抛物线开口向上，且 $x=\dfrac {1}{2a}>0$，
因为抛物线 $y=ax^2-x-a$（$a\ne 0$）经过点 $A(1,-1)$ 和点 $B(-1,1)$，
如图可知，当 $\dfrac{1}{2a}\geqslant 1$ 时符合题意，所以 $0<a\leqslant \dfrac 12$，
当 $0<\dfrac {1}{2a}<1$ 时，图象不符合 $-1\leqslant y\leqslant 1$ 的要求舍去．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $-\dfrac 12\leqslant a<0$ 或 $0<a\leqslant \dfrac 12$．
所以 $a+b+c=-1,a-b+c=1$，
所以 $a+c=0,b=-1$，
所以抛物线为 $y=ax^2-x-a$，对称轴为 $x=\dfrac {1}{2a}$，
当 $a<0$ 时，抛物线开口向下，且 $x=\dfrac {1}{2a}<0$，
因为抛物线 $y=ax^2-x-a$（$a\ne 0$）经过点 $A(1,-1)$ 和点 $B(-1,1)$，
如图可知，当 $\dfrac{1}{2a}\leqslant -1$ 时符合题意，所以 $-\dfrac 12\leqslant a<0$，
当 $-1<\dfrac {1}{2a}<0$ 时，图象不符合 $-1\leqslant y\leqslant 1$ 的要求舍去，
同理，当 $a>0$ 时，抛物线开口向上，且 $x=\dfrac {1}{2a}>0$，
因为抛物线 $y=ax^2-x-a$（$a\ne 0$）经过点 $A(1,-1)$ 和点 $B(-1,1)$，
如图可知，当 $\dfrac{1}{2a}\geqslant 1$ 时符合题意，所以 $0<a\leqslant \dfrac 12$，
当 $0<\dfrac {1}{2a}<1$ 时，图象不符合 $-1\leqslant y\leqslant 1$ 的要求舍去．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $-\dfrac 12\leqslant a<0$ 或 $0<a\leqslant \dfrac 12$．
答案
解析
备注
