在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y=-x^2+2x+3$ 与 $y$ 轴交于点 $C$，与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），点 $P$ 为该抛物线的顶点，点 $P'$ 与点 $P$ 关于原点对称，将抛物线在 $A,B$ 两点之间的部分（包括 $A,B$ 两点），先向下平移 $3$ 个单位，再向左平移 $m$（$m>0$）个单位，平移后的图象记为图象 $G$，若图象 $G$ 与直线 $PP'$ 无交点，求 $m$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$m$ 的取值范围为 $m>\dfrac{15}{4}$
【解析】
由 $y=-x^2+2x+3=-(x+1)(x-3)=-(x-1)^2+4$，
可得点 $A(-1,0)$，点 $B(3,0)$，点 $P(1,4)$，点 $P'(-1,-4)$．
所以直线 $PP'$ 的解析式为 $y=4x$．
图象向下平移 $3$ 个单位，再向左平移 $m$（$m>0$）个单位后，点 $B$ 对应点 $B'$ 的坐标为 $(3-m,-3)$．
如图，当点 $B'$ 在直线 $PP'$ 上时，
有 $4(3-m)=-3$，即 $m=\dfrac{15}{4}$．
结合图象，得到满足题意的 $m$ 的取值范围为 $ m>\dfrac{15}{4}$．
可得点 $A(-1,0)$，点 $B(3,0)$，点 $P(1,4)$，点 $P'(-1,-4)$．
所以直线 $PP'$ 的解析式为 $y=4x$．
图象向下平移 $3$ 个单位，再向左平移 $m$（$m>0$）个单位后，点 $B$ 对应点 $B'$ 的坐标为 $(3-m,-3)$．
如图，当点 $B'$ 在直线 $PP'$ 上时，有 $4(3-m)=-3$，即 $m=\dfrac{15}{4}$．
结合图象，得到满足题意的 $m$ 的取值范围为 $ m>\dfrac{15}{4}$．
答案
解析
备注
