在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y=x^2+bx+c$ 经过 $A(0,-3),B(4,5)$ 两点，其顶点为 $M$，设点 $M$ 关于 $y$ 轴的对称点是 $N$．记抛物线在 $A,B$ 两点之间的部分为图象 $W$（包含 $A,B$ 两点），若经过点 $N$ 的直线 $l:y=mx+n$ 与图象 $W$ 恰有一个公共点，结合图象，求 $m$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$m$ 的取值范围是 $1<m\leqslant \dfrac 95$ 或 $m=0$
【解析】
由题意可得 $\begin{cases}c=-3,\\16+4b+c=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-2,\\c=-3.\end{cases}$
所以抛物线的解析式为 $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$．
从而顶点 $M$ 的坐标为 $(1,-4)$，
所以其关于 $y$ 轴的对称点 $N$ 的坐标为 $(-1,-4)$．
设直线 $AN$ 的解析式为 $y=kx+b$，
则有 $\begin{cases}b=-3,\\-k+b=-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=1,\\b=-3.\end{cases}$
所以直线 $AN$ 为 $y=x-3$．
再设直线 $BN$ 的表达式 $y=tx+s$，
则有 $\begin{cases}4t+s=5,\\-t+s=-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}t=\dfrac 95,\\s=-\dfrac{11}{5}.\end{cases}$
所以直线 $BN$ 为 $y=\dfrac 95x-\dfrac{11}5$．
结合图象，可得满足条件的 $m$ 的取值范围是 $1<m\leqslant \dfrac 95$ 或 $m=0$．
所以抛物线的解析式为 $y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$．
从而顶点 $M$ 的坐标为 $(1,-4)$，
所以其关于 $y$ 轴的对称点 $N$ 的坐标为 $(-1,-4)$．
设直线 $AN$ 的解析式为 $y=kx+b$，
则有 $\begin{cases}b=-3,\\-k+b=-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=1,\\b=-3.\end{cases}$
所以直线 $AN$ 为 $y=x-3$．
再设直线 $BN$ 的表达式 $y=tx+s$，
则有 $\begin{cases}4t+s=5,\\-t+s=-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}t=\dfrac 95,\\s=-\dfrac{11}{5}.\end{cases}$
所以直线 $BN$ 为 $y=\dfrac 95x-\dfrac{11}5$．
结合图象，可得满足条件的 $m$ 的取值范围是 $1<m\leqslant \dfrac 95$ 或 $m=0$．
答案
解析
备注
