若二次函数 $y=-x^2+2x+3$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，将此图象在 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象，函数 $y=kx+3$ 与新图象恰有三个公共点时，求 $k$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $k=-1,2$ 或 $3$ 时，直线 $y=kx+3$ 与新图象恰有三个公共点
【解析】
如图，因为直线 $y=kx+3$ 是绕着点 $\left(0,3\right)$ 旋转的，所以直线 $y=kx+3$ 经过点 $A\left(-1,0\right)$ 时，经过点 $B\left(3,0\right)$ 时，与 $y=-x^2+2x+3$（$-1\leqslant x\leqslant 3$）只有一个公共点时，这三种情况下与新图象恰有三个公共点．
将 $\left(-1,0\right)$ 代入直线解析式得 $k=3$，
将 $\left(3,0\right)$ 代入直线解析式得 $k=-1$．
当抛物线与直线只有一个交点时，则 $kx+3=-x^2+2x+3$，
所以 $\Delta=\left(k-2\right)^2=0$，即 $k=2$．
综上可得，当 $k=-1,2$ 或 $3$ 时，直线 $y=kx+3$ 与新图象恰有三个公共点．
将 $\left(-1,0\right)$ 代入直线解析式得 $k=3$，将 $\left(3,0\right)$ 代入直线解析式得 $k=-1$．
当抛物线与直线只有一个交点时，则 $kx+3=-x^2+2x+3$，
所以 $\Delta=\left(k-2\right)^2=0$，即 $k=2$．
综上可得，当 $k=-1,2$ 或 $3$ 时，直线 $y=kx+3$ 与新图象恰有三个公共点．
答案
解析
备注
