设动圆圆心在抛物线 $y=\dfrac 14x^2$ 上，半径等于该圆圆心的纵坐标．求所有这样的圆上点的集合．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
$\left\{(x,y)\mid x^2+(y-1 )^2\geqslant 1,y \geqslant 0\right\}$
【解析】
设动圆圆心为 $C \left(a,\dfrac 14a^2\right)$，$P(x,y)$ 为圆 $C$ 上任意一点，则$$\left\{P\left||PC|=\dfrac 14a^2\right.\right\},$$所以$$(x-a)^2+\left(y-\dfrac 14a^2\right)^2=\left(\dfrac 14a^2\right)^2,$$即$$(2-y)a^2-4xa+2(x^2+y^2)=0.$$当 $y=2$ 时，$a=\dfrac {x^2+4}{2x}$．
当 $y\neq 2$ 时，由 $a \in \mathbb R$，得$$\Delta =16x^2-8(2-y)(x^2+y^2)\geqslant 0,$$化简得$$y(x^2+y^2-2y)\geqslant 0,$$所以$$\begin{cases}y \geqslant 0,\\ x^2+y^2-2y \geqslant 0, \end{cases} \lor \begin{cases}y \leqslant 0,\\ x^2+y^2-2y \leqslant 0, \end{cases}$$即$$\begin{cases}y \geqslant 0,\\ x^2+(y-1)^2 \geqslant 1, \end{cases} \lor x=y=0,$$故所求集合为$$\left\{(x,y)\mid x^2+(y-1 )^2\geqslant 1,y \geqslant 0\right\}.$$
当 $y\neq 2$ 时，由 $a \in \mathbb R$，得$$\Delta =16x^2-8(2-y)(x^2+y^2)\geqslant 0,$$化简得$$y(x^2+y^2-2y)\geqslant 0,$$所以$$\begin{cases}y \geqslant 0,\\ x^2+y^2-2y \geqslant 0, \end{cases} \lor \begin{cases}y \leqslant 0,\\ x^2+y^2-2y \leqslant 0, \end{cases}$$即$$\begin{cases}y \geqslant 0,\\ x^2+(y-1)^2 \geqslant 1, \end{cases} \lor x=y=0,$$故所求集合为$$\left\{(x,y)\mid x^2+(y-1 )^2\geqslant 1,y \geqslant 0\right\}.$$
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解析
备注
