定义：对于给定的两个函数，任取自变量 $x$ 的一个值，当 $x<0$ 时，它们对应的函数值互为相反数；当 $x\geqslant 0$ 是，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数 $y=x-1$，它的相关函数为 $y=\begin{cases}-x+1,&x<0,\\x-1,&x\geqslant 0.\end{cases}$
在平面直角坐标系中，点 $M,N$ 的坐标分别为 $\left(-\dfrac 12,1\right),\left(\dfrac 92,1\right)$，连接 $MN$．求线段 $MN$ 与二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数的图象有两个公共点时 $n$ 的取值范围．
在平面直角坐标系中，点 $M,N$ 的坐标分别为 $\left(-\dfrac 12,1\right),\left(\dfrac 92,1\right)$，连接 $MN$．求线段 $MN$ 与二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数的图象有两个公共点时 $n$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$n$ 的取值范围为 $-3<n\leqslant -1$ 或 $1<n\leqslant \dfrac 54$
【解析】
由题意可得二次函数 $y=-x^2+4x+n$ 的相关函数为 $y=\begin{cases}x^2-4x-n=(x-2)^2-(n+4),&x<0,\\-x^2+4x+n=-(x-2)^2+(n+4),&x\geqslant 0.\end{cases}$
① 当相关函数的图象经过点 $(2,1)$ 时，如图．
此时 $n+4=1$，即 $n=-3$；
② 当相关函数的图形经过点 $(0,-1)$ 时，如图．
此时 $n=-1$；
③ 当相关函数的图形经过点 $(0,1)$ 时，如图．
此时 $n=1$；
④ 当相关函数的图形经过点 $\left(-\dfrac 12,1\right)$ 时，如图．
此时 $\left(-\dfrac 12\right)^2-4\times\left(-\dfrac 12\right)-n=1$，解得 $n=\dfrac 54$．
结合函数图象，满足题意的 $n$ 的取值范围为 $-3<n\leqslant -1$ 或 $1<n\leqslant \dfrac 54$．
① 当相关函数的图象经过点 $(2,1)$ 时，如图．
此时 $n+4=1$，即 $n=-3$；② 当相关函数的图形经过点 $(0,-1)$ 时，如图．
此时 $n=-1$；③ 当相关函数的图形经过点 $(0,1)$ 时，如图．
此时 $n=1$；④ 当相关函数的图形经过点 $\left(-\dfrac 12,1\right)$ 时，如图．
此时 $\left(-\dfrac 12\right)^2-4\times\left(-\dfrac 12\right)-n=1$，解得 $n=\dfrac 54$．结合函数图象，满足题意的 $n$ 的取值范围为 $-3<n\leqslant -1$ 或 $1<n\leqslant \dfrac 54$．
答案
解析
备注
