在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y=mx^2-2mx-2$（$m\ne 0$）与 $y$ 轴交于点 $A$，其对称轴与 $x$ 轴交于点 $B$．若该抛物线在 $-2<x<-1$ 这一段位于直线 $l:y=-2x+2$ 的上方，并且在 $2<x<3$ 这一段位于直线 $AB$ 的下方，求该抛物线的解析式．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
抛物线的解析式为 $y=2x^2-4x-2$
【解析】
如图，因为抛物线对称轴为 $x=1$，且直线 $l$ 与直线 $AB$ 关于对称轴对称，
所以抛物线在 $-1<x<0$ 这一段在位于直线 $l$ 的下方．
又因为抛物线在 $-2<x<-1$ 这一段位于直线 $l$ 的上方，
所以抛物线与直线 $l$ 的交点的横坐标为 $-1$．
当 $x=-1$ 时，$y=-2\times\left(-1\right)+2=4$，则抛物线过点 $\left(-1,4\right)$，
将 $\left(-1,4\right)$ 代入抛物线解析式，得 $m+2m-2=4$，则 $m=2$，
所以抛物线的解析式为 $y=2x^2-4x-2$．
所以抛物线在 $-1<x<0$ 这一段在位于直线 $l$ 的下方．又因为抛物线在 $-2<x<-1$ 这一段位于直线 $l$ 的上方，
所以抛物线与直线 $l$ 的交点的横坐标为 $-1$．
当 $x=-1$ 时，$y=-2\times\left(-1\right)+2=4$，则抛物线过点 $\left(-1,4\right)$，
将 $\left(-1,4\right)$ 代入抛物线解析式，得 $m+2m-2=4$，则 $m=2$，
所以抛物线的解析式为 $y=2x^2-4x-2$．
答案
解析
备注
