已知椭圆的长轴长为 $6$，离心率为 $\dfrac{1}{3}$，$F_2$ 为椭圆的右焦点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆的标准方程；标注答案$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{8}=1$解析略
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点 $M$ 在圆 $x^2+y^2=8$ 上，且 $M$ 在第一象限，过 $M$ 作圆 $x^2+y^2=8$ 的切线交椭圆于 $P,Q$ 两点，判断 $\triangle PF_2Q$ 的周长是否为定值，并说明理由．标注答案$\triangle PF_2Q$ 的周长为定值 $6$解析设 $P\left(x_1,y_1\right)$，$Q\left(x_2,y_2\right)$．由题意，$x_1>0$，$x_2>0$．
因为\begin{align*}
\left|PF_2\right|&=3-\dfrac{1}{3}x_1,\\
\left|PM\right|&=\sqrt{|OP|^2-|OM|^2}=\dfrac{1}{3}x_1,
\end{align*}所以 $\left|PF_2\right|+|PM|=3$．同理可得 $\left|QF_2\right|+|QM|=3$．因此 $\triangle PF_2Q$ 的周长为定值 $6$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
