设 $a_1\geqslant1,a_n=[\sqrt{na_{n-1}}],n\geqslant2$，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．证明：无论 $a_1$ 取何正整数时，不在数列 $\{a_n\}$ 中的素数只有有限多个．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题意知$$a_1\geqslant1,a_2=\left[\sqrt{2a_1}\right]\geqslant1,a_3=\left[\sqrt{3a_2}\right]\geqslant1.$$当 $n\geqslant4$ 时，利用数学归纳法，得$$a_n=[\sqrt{na_{n-1}}]\geqslant\left[\sqrt{n(n-3)}\right]\geqslant n-2.$$令 $b_n=a_n-n$，则有$$-2\leqslant b_n=\left[\sqrt{n(n-1+b_{n-1})}\right]-n\leqslant\left[\dfrac{b_{n-1}-1}{2}\right].$$当 $b_{n-1}=-1$ 时，$$b_n=\left[\sqrt{n(n-2)}\right]-n<-1,$$故当 $n$ 充分大时，$b_n=-2$，即 $a_n=n-2$，所以不在数列 $\{a_n\}$ 中的素数只有有限多个．
答案
解析
备注
