设 $\odot O_1$ 与 $\odot O_2$ 相交于 $A,B$ 两点，$\odot O_3$ 分别与 $\odot O_1,\odot O_2$ 外切与点 $C,D$．直线 $EF$ 分别与 $\odot O_1,\odot O_2$ 相切于 $E,F$，直线 $CE$ 与直线 $DF$ 相交于点 $G$，证明：$A,B,G$ 三点共线．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
以 $EF$ 为 $x$ 轴，$O_1E$ 为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．
设 $E(0,0),F(c,0)$，则\[\begin{split}&\odot O_1:x^2+(y-r_1)^2=r_1^2,\\&\odot O_2:(x-c)^2+(y-y_2)^2=r_2^2,\\&\odot O_3:(x-a)^2+(y-b)^2=r_3^2,\end{split}\]其中 $a,b$ 满足$$\begin{cases}a^2+(b-r_1)^2=(r_1+r_3)^2,\\(a-c)^2+(b-r_2)^2=(r_2+r_3)^2,\end{cases}$$于是\[\begin{split}&AB:2cx-c^2+2(r_2-r_1)y=0,\\&C:\dfrac{r(0,r_1)}{r_1+r_3}+\dfrac{r_1(a,b)}{r_1+r_3}=\dfrac{r_1(a,r_3+b)}{r_1+r_3},\\&D:\dfrac{r_3(c,r_2)}{r_2+r_3}+\dfrac{r_2(a,b)}{r_2+r_3}=\dfrac{(r_2a+r_3c,r_2b)}{r_2+r_3},\\&CE:(r_3+b)x-ay=0,\\&DF:(r_3+b)(x-c)-(a-c)y=0,\\&G(a,r_3+b).\end{split}\]容易知道点 $G$ 的坐标满足直线 $AB$ 的方程，即 $A,B,G$ 三点共线．
设 $E(0,0),F(c,0)$，则\[\begin{split}&\odot O_1:x^2+(y-r_1)^2=r_1^2,\\&\odot O_2:(x-c)^2+(y-y_2)^2=r_2^2,\\&\odot O_3:(x-a)^2+(y-b)^2=r_3^2,\end{split}\]其中 $a,b$ 满足$$\begin{cases}a^2+(b-r_1)^2=(r_1+r_3)^2,\\(a-c)^2+(b-r_2)^2=(r_2+r_3)^2,\end{cases}$$于是\[\begin{split}&AB:2cx-c^2+2(r_2-r_1)y=0,\\&C:\dfrac{r(0,r_1)}{r_1+r_3}+\dfrac{r_1(a,b)}{r_1+r_3}=\dfrac{r_1(a,r_3+b)}{r_1+r_3},\\&D:\dfrac{r_3(c,r_2)}{r_2+r_3}+\dfrac{r_2(a,b)}{r_2+r_3}=\dfrac{(r_2a+r_3c,r_2b)}{r_2+r_3},\\&CE:(r_3+b)x-ay=0,\\&DF:(r_3+b)(x-c)-(a-c)y=0,\\&G(a,r_3+b).\end{split}\]容易知道点 $G$ 的坐标满足直线 $AB$ 的方程，即 $A,B,G$ 三点共线．
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备注
