已知 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 所对的边分别是 $a,b,c$，向量 $\overrightarrow{m}=\left(1,1-\sqrt3\sin A\right)$，$\overrightarrow{n}=(\cos A,1)$，且 $\overrightarrow{m}\perp\overrightarrow{n}$．
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
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求角 $A$；标注答案$\dfrac{\pi}{3}$解析因为 $\overrightarrow{m}\perp\overrightarrow{n}$，所以$$\cos A+1-\sqrt3\sin A=0,$$整理得$$\sin\left(A-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac12.$$因为 $0<A<\pi$，所以$$-\dfrac{\pi}{6}<A-\dfrac{\pi}{6}<\dfrac{5\pi}{6},$$即 $A-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}$，故 $A=\dfrac{\pi}{3}$．
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若 $b+c=\sqrt3a$，求 $\sin\left(B+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的值．标注答案$\dfrac{\sqrt3}{2}$解析因为 $b+c=\sqrt3a$，由正弦定理得$$\sin B+\sin C=\sqrt3\sin A=\dfrac32.$$因为 $B+C=\dfrac{2\pi}{3}$，所以$$\sin B+\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}-B\right)=\dfrac32,$$整理得$$\dfrac{\sqrt3}{2}\cos B+\dfrac32\sin B=\dfrac32,$$所以$$\sin\left(B+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
