已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，过椭圆左焦点 $F(-c,0)(c>0)$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 垂直平分线交椭圆于 $C,D$ 两点，若 $AC \perp AD$，试求直线 $l$ 的方程．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
$y=\pm(x+c)$
【解析】
设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x+c)$，则直线 $CD$ 的方程可设为 $x=-ky+d$，因为 $AC \perp AD$，且 $CD$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线，则 $BC \perp BD$，因此 $A,B,C,D$ 四点共圆．
由此得过四点 $A,B,C,D$ 的曲线方程为：\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1+\lambda(kx-y+kc)(x+ky-d)=0.\]因为四点共圆，故方程中没有 $xy$ 项，因此\[\lambda(k^2-1)=0,\]即 $k=\pm 1$．
由此得，直线 $l$ 的方程 $y=\pm(x+c)$．
由此得过四点 $A,B,C,D$ 的曲线方程为：\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1+\lambda(kx-y+kc)(x+ky-d)=0.\]因为四点共圆，故方程中没有 $xy$ 项，因此\[\lambda(k^2-1)=0,\]即 $k=\pm 1$．
由此得，直线 $l$ 的方程 $y=\pm(x+c)$．
答案
解析
备注
